青チャPart2.ド・モアブルの定理
こんにちは、きよひこです！
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今日も、昨日に引き続き、青チャートを解いております！
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さて、今日は9問ほど問題を解いたのですが、「ド・モアブルの定理」を使った問題を主に解きました！
複素数のうち、割と頻出の定理ではないのでしょうか。
- z=r(cosθ+isinθ)
このように表せるのですが、そのとき、
- z^n=r^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
となります。
これが、「ド・モアブルの定理」ですね。
では、この定理が使われるのはどのような問題でしょう。
1つは、複素数zが分かっているときにzの累乗を求める問題です。
ここで例題を出しておきます。
- 1/(1-i)^10を求めよ。
この問題は、
1/(1-i)^10
を
(1-i)^(-10)
として考えると、「ド・モアブルの定理」が使えますね。
ですから、ここで「ド・モアブルの定理」を用いると、
(1-i)^(-10)=(√2)^(-10){cos(5π/2)+isin(5π/2)}
これを解くと答えは
i/32
となります。
ごっちゃごちゃで分かりづらいので、興味のある方はノートに解いてみてください！
では、「ド・モアブルの定理」を使う、他のパターンも紹介します。
それは、zの累乗からzを求める問題です。
- z^6=1のとき、zを求めよ。
みたいな問題ですね。
これは、
z=r(cosθ+isinθ)とおくことで、
z^6=r^6(cos6θ+isin6θ)となるため、
r^6(cos6θ+isin6θ)=cos0+isin0として両辺を比較すれば解くことができます。
答えは
r=±1,±1/2±√3i/2
となります！
計算が長くなるので、ノートに書いてご確認ください。
今回は重要問題を3問ほど解いたのですが、そのうち1問に、見事にボコされました。
しかし、昔は重要問題なんて1問も解けないような状態だったので、塾講師をしていて少し柔軟な発想ができるようになったのかなあと思います。
にほんブログ村問題を解く量を増やすと頭も柔らかくなってくれるのですかね、、、。
何はともあれ、これからも継続して問題を解いていこうと思います！
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
